Информация о задаче

Задача 57784

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля N.
б) Пусть N — точка Нагеля, M — центр масс, I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что $\overrightarrow{NM}$ = 2 $\overrightarrow{MI}$ ; в частности точка N лежит на прямой MI.

Решение

а) Пусть прямые AN, BN и CN пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁. Тогда

$\displaystyle {\frac{AB_1}{B_1C}}$ = $\displaystyle {\frac{p-c}{p-a}}$ , $\displaystyle {\frac{CA_1}{A_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{p-b}{p-c}}$ , $\displaystyle {\frac{BC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{p-a}{p-b}}$ .

Поэтому точка N имеет барицентрические кординаты (p - a : p - b : p - c).
б) Абсолютные барицентрические координаты точек N и I равны

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{p-a}{p},\frac{p-b}{p},\frac{p-c}{p}}\right.$ $\displaystyle {\frac{p-a}{p}}$ , $\displaystyle {\frac{p-b}{p}}$ , $\displaystyle {\frac{p-c}{p}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{p-a}{p},\frac{p-b}{p},\frac{p-c}{p}}\right)$ и $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{2p},\frac{b}{2p},\frac{c}{2p}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{2p}}$ , $\displaystyle {\frac{b}{2p}}$ , $\displaystyle {\frac{c}{2p}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{2p},\frac{b}{2p},\frac{c}{2p}}\right)$ .

Поэтому, воспользовавшись задачей 14.35, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.037B