Информация о задаче

Задача 57786

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Найдите уравнение описанной окружности треугольника A₁A₂A₃ в барицентрических координатах.

Решение

Пусть X — произвольная точка, O — центр описанной окружности данного треугольника, e_i = $\overrightarrow{OA_i}$ и a = $\overrightarrow{XO}$ . Если точка X имеет барицентрические координаты (x₁ : x₂ : x₃), то $\sum$ x_i(a + e_i) = $\sum$ x_i $\overrightarrow{XA_i}$ = 0, так как X — центр масс точек A₁, A₂, A₃ с массами x₁, x₂, x₃. Поэтому ( $\sum$ x_i)a = - $\sum$ x_ie_i. Точка X принадлежит описанной окружности треугольника тогда и только тогда, когда |a| = XO = R, где R — радиус этой окружности. Таким образом, описанная окружность треугольника задается в барицентрических координатах уравнением R²( $\sum$ x_i)² = ( $\sum$ x_ie_i)², т. е. R² $\sum$ x_i² + 2R² $\sum\limits_{i<j}^{}$ x_ix_j = R² $\sum$ x_i² + 2 $\sum\limits_{i<j}^{}$ x_ix_j(e_i,e_j), так как |e_i| = R. Это уравнение переписывается в виде $\sum\limits_{i<j}^{}$ x_ix_j(R² - (e_i,e_j)) = 0. Заметим теперь, что 2(R² - (e_i,e_j)) = a_ij², где a_ij — длина стороны A_iA_j. В самом деле, a_ij² = |e_i-e_j|² = |e_i|² + |e_j|² - 2(e_i,e_j) = 2(R² - (e_i,e_j)). В итоге получаем, что описанная окружность треугольника A₁A₂A₃ задается в барицентрических координатах уравнением $\sum\limits_{i<j}^{}$ x_ix_ja_ij² = 0, где a_ij — длина стороны A_iA_j.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.037