Информация о задаче

Задача 57790

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть ( $\alpha_{1}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\gamma_{1}^{}$ ) и ( $\alpha_{2}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ , $\gamma_{2}^{}$ ) — абсолютные барицентрические координаты точек M и N. Докажите, что

MN² = S_A( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ )² + S_B( $\displaystyle \beta_{1}^{}$ - $\displaystyle \beta_{2}^{}$ )² + S_C( $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ - $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ )²,

где S = 2Sctg $\omega$ для произвольного угла $\omega$ , A, B, C — углы данного треугольника, а S — его площадь.

Решение

Воспользуемся выражением квадрата длины отрезка через абсолютные трилинейные координаты его концов (задача 14.51). Абсолютные барицентрческие координаты ( $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ ) связаны с абсолютными трилинейными координатами (x, y, z) следующим образом: $\alpha$ = $\lambda$ xa, $\beta$ = $\lambda$ yb, $\gamma$ = $\lambda$ zc, причем $\lambda$ (xa + yb + zc) = 1. Ясно, что xa + yb + zc = 2S. Поэтому x = ${\frac{\alpha}{\lambda a}}$ = ${\frac{2S}{a}}$ $\alpha$ . Несложная проверка показывает, что ${\frac{\cos A}{\sin B\sin C}}$ $\left(\vphantom{\frac{2S}{a}}\right.$ ${\frac{2S}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2S}{a}}\right)^{2}_{}$ = 2SctgA.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.041B