Информация о задаче

Задача 57793

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Прямая l касается вписанной окружности треугольника ABC. Пусть $\delta_{a}^{}$ , $\delta_{b}^{}$ , $\delta_{c}^{}$ — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что a $\delta_{a}^{}$ + b $\delta_{b}^{}$ + c $\delta_{c}^{}$ = 2S_ABC.

Решение

Проведем через центр вписанной окружности прямую l', параллельную прямой l. Пусть d_a = $\delta_{a}^{}$ - r, d_b = $\delta_{b}^{}$ - r, d_c = $\delta_{c}^{}$ - r, где r — радиус вписанной окружности. Тогда d_a, d_b, d_c — расстояния то точек A, B, C до прямой l' с учетом знака. Центр вписанной окружности имеет барицентрические координаты (a : b : c), поэтому согласно задаче 14.41B2 ad_a + bd_b + cd_c = 0, т.е. a $\delta_{a}^{}$ + b $\delta_{b}^{}$ + c $\delta_{c}^{}$ = r(a + b + c) = 2S_ABC.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.041B3