Задача 57890

Тема:    [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Даны три прямые a, b, c. Пусть T = S_aoS_boS_c. Докажите, что ToT — параллельный перенос (или тождественное отображение).

Решение

Представим ToT в виде композиции трех преобразований:

ToT = (S_aoS_boS_c)o(S_aoS_boS_c) = (S_aoS_b)o(S_coS_a)o(S_boS_c).

При этом S_aoS_b, S_coS_a и  S_boS_c — повороты на углы 2(b, a), 2(a, c) и  2(c, b) соответственно. Сумма углов поворотов равна 2((b, a) + (a, c) + (c, b)) = 2(b, b) = 0^o, причем эта величина определена с точностью до 2 ^. 180^o = 360^o. Следовательно, эта композиция поворотов является параллельным переносом (см. задачу 18.33).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	4
Название	Композиции симметрий
Тема	Композиции симметрий
задача
Номер	17.023