Задача 57898

Тема:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

На окружности с центром O даны точки A₁,..., A_n, делящие ее на равные дуги, и точка X. Докажите, что точки, симметричные X относительно прямых OA₁,..., OA_n, образуют правильный многоугольник.

Решение

Обозначим симметрии относительно прямых OA₁,..., OA_n через S₁,..., S_n. Пусть X_k = S_k(X) при k = 1,..., n. Нужно доказать, что при некотором повороте относительно точки O система точек X₁,..., X_n переходит в себя. Ясно, что S_{k + 1}oS_k(X_k) = S_{k + 1}oS_koS_k(X) = X_{k + 1}. Преобразования S_{k + 1}oS_k являются поворотами относительно точки O на угол 4/n (см. задачу 17.22, б)).
Замечание. При четном n получается n/2-угольник.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	5
Название	Свойства симметрий и осей симметрии
Тема	Свойства симметрий и осей симметрии
задача
Номер	17.031