Задача 57926

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Васильев Н.Б.

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Решение

Вокруг квадрата ABCD описан параллелограмм A₁B₁C₁D₁ (точка A лежит на стороне A₁B₁, B — на B₁C₁ и т. д.). Опустим из вершин A₁, B₁, C₁ и D₁ перпендикуляры l₁, l₂, l₃ и l₄ на стороны квадрата. Чтобы доказать, что эти прямые образуют квадрат, достаточно проверить, что при повороте на 90^o относительно центра O квадрата ABCD прямые l₁, l₂, l₃ и l₄ переходят друг в друга. При повороте относительно точки O на 90^o точки A₁, B₁, C₁ и D₁ переходят в точки A₂, B₂, C₂ и D₂ (рис.).

Так как AA₂ B₁B и  BA₂ B₁A, то B₁A₂ AB. Это означает, что прямая l₁ переходит при повороте на 90^o относительно точки O в прямую l₂. Для остальных прямых доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6036
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1981
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М704
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	1
Название	Поворот на 90 градусов
Тема	Поворот на $90^\circ$
задача
Номер	18.008