Задача 57960

Тема:    [ Композиции поворотов ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных внутренним образом.
в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников, полученных в задачах а) и б), равна площади исходного треугольника.

Решение

а) См. решение более общей задачи 18.42 (достаточно положить = = = 120^o). В случае б) доказательство аналогично.
в) Пусть Q и R (соответственно Q₁ и R₁) — центры правильных треугольников, построенных внешним (соответственно внутренним) образом на сторонах AC и AB. Так как AQ = b/, AR = c/ и  QAR = 60^o + , то 3QR² = b² + c² - 2bc cos( + 60^o). Аналогично 3Q₁R₁² = b² + c² - 2bc cos( - 60^o). Поэтому разность площадей полученных правильных треугольников равна (QR² - Q₁R₁²)/4 = bc sinsin 60^o/ = S_ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	4
Название	Композиции поворотов
Тема	Композиции поворотов
задача
Номер	18.038