Задача 57961

Тема:    [ Композиции поворотов ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На сторонах треугольника ABC построены правильные треугольники A'BC и B'AC внешним образом, C'AB — внутренним, M — центр треугольника C'AB. Докажите, что A'B'M — равнобедренный треугольник, причем A'MB' = 120^o.

Решение

Композиция поворота на 60^o относительно точки A', переводящего B в C, поворота на 60^o относительно точки B', переводящего C в A, и поворота на 120^o относительно точки M, переводящего A в B, имеет неподвижную точку B. Так как первые два поворота производятся в направлении, противоположном направлению последнего поворота, то композиция этих поворотов является параллельным переносом, имеющим неподвижную точку, т. е. является тождественным преобразованием: R_M^-120ooR_B'^60ooR_A'^60o = E. Поэтому R_B'^60ooR_A'^60o = R_M^120o, т. е. точка M является центром поворота R_B'^60ooR_A'^60o. Следовательно, MA'B' = MB'A' = 30^o, т. е. A'B'M — равнобедренный треугольник, причем A'MB' = 120^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	4
Название	Композиции поворотов
Тема	Композиции поворотов
задача
Номер	18.039