Задача 57989

Тема:    [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.

Решение

а) При гомотетии с центром B, переводящей вписанную окружность во вневписанную окружность, касающуюся стороны AC, точка M переходит в некоторую точку M'. Точка M' является концом диаметра, перпендикулярного прямой AC, поэтому M' является точкой касания вписанной окружности со стороной AC, а значит, и точкой пересечения прямой BM со стороной AC. Поэтому K = M' и точка K является точкой касания вневписанной окружности со стороной AC. Теперь легко вычислить, что AK = (a + b - c)/2 = CD, где a, b и c — длины сторон треугольника ABC.
б) Рассмотрим гомотетию с центром M, переводящую прямую EH в прямую, касающуюся данной окружности. При этой гомотетии точки E, F, K и H переходят в точки E', F', K' и H'. Согласно задаче a) E'F' = K'H', поэтому EF = KH.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	2
Название	Гомотетичные окружности
Тема	Гомотетичные окружности
задача
Номер	19.011