Задача 58000

Тема:    [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Прямоугольный треугольник ABC изменяется таким образом, что вершина A прямого угла треугольника не изменяет своего положения, а вершины B и C скользят по фиксированным окружностям S₁ и S₂, касающимся внешним образом в точке A. Найдите геометрическое место оснований D высот AD треугольников ABC.

Решение

Проведем к окружностям S₁ и S₂ общие внешние касательные l₁ и l₂. Прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке K, которая является центром гомотетии H, переводящей окружность S₁ в окружность S₂. Пусть A₁ = H(A). Точки A и K лежат на прямой, соединяющей центры окружностей, поэтому AA₁ — диаметр окружности S₂, т. е. ACA₁ = 90^o и  A₁C| AB. Следовательно, отрезок AB при гомотетии H переходит в A₁C. Поэтому прямая BC проходит через точку K и  ADK = 90^o. Точка D лежит на окружности S с диаметром AK. Ясно также, что точка D лежит внутри угла, образованного прямыми l₁ и l₂. Таким образом, геометрическим местом точек D является дуга окружности S, высекаемая прямыми l₁ и l₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	3
Название	Построения и геометрические места точек
Тема	Гомотетия: построения и геометрические места точек
задача
Номер	19.021