Информация о задаче

Задача 58011

Тема:

[

Поворотная гомотетия

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники: $\triangle$ A₁BC $\sim$ $\triangle$ B₁CA $\sim$ $\triangle$ C₁AB. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают.

Решение

Пусть P — поворотная гомотетия, переводящая вектор $\overrightarrow{CB}$ в вектор $\overrightarrow{CA_1}$ . Тогда $\overrightarrow{AA_1}$ + $\overrightarrow{BB_1}$ + $\overrightarrow{CC_1}$ = $\overrightarrow{AC}$ + P( $\overrightarrow{CB}$ ) + $\overrightarrow{CB}$ + P( $\overrightarrow{BA}$ ) + $\overrightarrow{BA}$ + P( $\overrightarrow{AC}$ ) = $\overrightarrow{0}$ . Значит, если M — центр масс треугольника ABC, то $\overrightarrow{MA_1}$ + $\overrightarrow{MB_1}$ + $\overrightarrow{MC_1}$ = ( $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MC}$ ) + ( $\overrightarrow{AA_1}$ + $\overrightarrow{BB_1}$ + $\overrightarrow{CC_1}$ ) = $\overrightarrow{0}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	5
Название	Поворотная гомотетия
Тема	Поворотная гомотетия
задача
Номер	19.032