Условие
Поворотные гомотетии
P1 и
P2 с центрами
A1 и
A2 имеют
один и тот же угол поворота, а произведение их коэффициентов равно 1.
Докажите, что композиция
P2oP1 является поворотом, причем его
центр совпадает с центром другого поворота, переводящего
A1 в
A2
и имеющего угол поворота
2
(
,
),
где
M — произвольная точка и
N =
P1(
M).
Решение
Так как произведение коэффициентов поворотных гомотетий
P1 и
P2
равно 1, их композиция является поворотом (см. задачу
17.36).
Пусть
O — центр поворота
P2oP1;
R =
P1(
O). Так как
P2oP1(
O) =
O, то
P2(
R) =
O. Следовательно, по условию
A1O :
A1R =
A2O :
A2R и
OA1R =
OA2R,
т. е.
OA1R 
OA2R. Кроме того,
OR —
общая сторона этих подобных треугольников, значит,
OA1R =
OA2R. Следовательно,
OA1 =
OA2
и
(
,
) = 2
(
,
) = 2
(
,
), т. е.
O — центр поворота на
угол
2
(
,
), переводящего
A1 в
A2.
Источники и прецеденты использования
