Информация о задаче

Задача 58031

Тема:

[

Окружность подобия трех фигур

]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Прямые A₂B₂ и A₃B₃, A₃B₃ и A₁B₁, A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точках P₁, P₂, P₃ соответственно.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников A₁A₂P₃, A₁A₃P₂ и A₂A₃P₁ пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃.
б) Пусть O₁ — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок A₂B₂ в отрезок A₃B₃; точки O₂ и O₃ определяются аналогично. Докажите, что прямые P₁O₁, P₂O₂ и P₃O₃ пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃.

Решение

Точки A₁, A₂ и A₃ лежат на прямых P₂P₃, P₃P₁ и P₁P₂ (рис.), поэтому описанные окружности треугольников A₁A₂P₃, A₁A₃P₂ и A₂A₃P₁ имеют общую точку V (см. задачу 2.80, а)), причем точки O₃, O₂ и O₁ лежат на этих окружностях (см. задачу 19.41). Аналогично описанные окружности треугольников B₁B₂P₃, B₁B₃P₂ и B₂B₃P₁ имеют общую точку V'. Пусть U — точка пересечения прямых P₂O₂ и P₃O₃. Докажем, что точка V лежит на описанной окружности треугольника O₂O₃U. В самом деле, $\angle$ (O₂V, VO₃) = $\angle$ (VO₂, O₂P₂) + $\angle$ (O₂P₂, P₃O₃) + $\angle$ (P₃O₃, O₃V) = $\angle$ (VA₁, A₁P₂) + $\angle$ (O₂U, UO₃) + $\angle$ (P₃A₁, A₁V) = $\angle$ (O₂U, UO₃). Аналогичные рассуждения показывают, что точка V' лежит на описанной окружности треугольника O₂O₃U. В частности, точки O₂, O₃, V и V' лежат на одной окружности. Аналогично точки O₁, O₂, V и V' лежат на одной окружности, а значит, точки V и V' лежат на описанной окружности треугольника O₁O₂O₃; точка U тоже лежит на этой окружности. Аналогично доказывается, что прямые P₁O₁ и P₂O₂ пересекаются в точке, лежащей на окружности подобия. Прямая P₂O₂ пересекает окружность подобия в точках U и O₂, поэтому прямая P₁O₁ проходит через точку U.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	8
Название	Окружность подобия трех фигур
Тема	Окружность подобия трех фигур
задача
Номер	19.049