Условие
Из каждой вершины многоугольника опущены перпендикуляры на стороны, её не
содержащие. Докажите, что хотя бы для одной вершины одно из оснований
перпендикуляров лежит на самой стороне, а не на её продолжении.
Решение
Возьмём наибольшую сторону
AB данного многоугольника и рассмотрим полосу,
состоящую из тех точек, проекции которых на прямую
AB попадают на отрезок
AB. Эту полосу должна пересекать какая-нибудь другая сторона
CD
многоугольника (одна из вершин
C и
D может совпадать с
A или с
B).
Неравенство
CD
AB показывает, что одна из вершин
C и
D лежит внутри
или на границе полосы (если
C =
A или
B, то вершина
D лежит внутри полосы).
Вершина, лежащая внутри или на границе полосы и отличная от
A и
B, обладает
требуемым свойством.
Источники и прецеденты использования
