Условие
На плоскости дано конечное число попарно непараллельных прямых,
причем через точку пересечения любых двух из них проходит еще одна
из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
Решение
Предположим, что не все прямые проходят через одну
точку. Рассмотрим точки пересечения прямых и выберем наименьшее
ненулевое расстояние от этих точек до данных прямых. Пусть
наименьшим будет расстояние от точки
A до прямой
l. Через
точку
A проходят по крайней мере три данные прямые. Пусть они
пересекают прямую
l в точках
B,
C и
D. Опустим из точки
A
перпендикуляр
AQ на прямую
l. Две из точек
B,
C и
D лежат
по одну сторону от точки
Q, например
C и
D. Пусть для
определенности
CQ <
DQ (рис.). Тогда расстояние от точки
C до
прямой
AD меньше, чем расстояние от точки
A до прямой
l, что
противоречит выбору
A и
l.
Источники и прецеденты использования
