Задача 58069

Тема:    [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник площади 2.

Решение

Пусть AB — наибольшая диагональ (или сторона) многоугольника. Проведем через точки A и B прямые a и b, перпендикулярные прямой AB. Если X — вершина многоугольника, то AXAB и XBAB, поэтому многоугольник находится внутри полосы, образованной прямыми a и b. Проведем опорные прямые многоугольника, параллельные AB. Пусть эти прямые проходят через вершины C и D и вместе с прямыми a и b образуют прямоугольник KLMN (рис.). Тогда S_KLMN = 2S_ABC + 2S_ABD = 2S_ACBD. Так как четырехугольник ACBD содержится в исходном многоугольнике, площадь которого равна 1, то S_KLMN2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	5
Название	Выпуклая оболочка и опорные прямые
Тема	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)
задача
Номер	20.023