Условие
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд.
Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более
k
хорд, то сумма длин хорд меньше
k.
Решение
Предположим, что сумма длин хорд не меньше
k,
и докажем, что тогда найдется диаметр, пересекающий по крайней
мере
k + 1 хорду. Так как длина дуги, стягиваемой хордой, больше
длины этой хорды, то сумма длин дуг, стягиваемых данными
хордами, больше
k. Если мы к этим дугам добавим еще и дуги,
симметричные им относительно центра окружности, то сумма длин
всех рассматриваемых дуг будет больше 2
k. Поэтому найдется
точка, которую покрывает по крайней мере
k + 1 из этих дуг.
Диаметр, проведенный через эту точку, пересекает по крайней мере
k + 1 хорду.
Замечания
Источники и прецеденты использования
