Условие
Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со
стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно
разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.
Решение
Для каждого креста рассмотрим круг радиусом
1/2
с центром в центре креста. Докажем, что если пересекаются два
таких круга, то пересекаются и сами кресты. Расстояние между
центрами пересекающихся равных кругов не превосходит их удвоенного
радиуса, поэтому расстояние между центрами соответствующих им
крестов не превосходит 1/
. Рассмотрим прямоугольник.
заданный перекладинами первого креста и центром второго (рис.).
Одна из перекладин второго креста проходит через этот прямоугольник,
поэтому она пересекает первый крест, так как длина перекладины
равна 1/
, а длина диагонали прямоугольника не превосходит
1/
. В круге конечного радиуса можно разместить лишь конечное
число непересекающихся кругов радиуса
1/2
.
Источники и прецеденты использования
