Задача 58106

Темы:    [ Формула включения-исключения ] [ Сочетания и размещения ] [ Перегруппировка площадей ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

На плоскости дано n фигур. Пусть S_i1...ik – площадь пересечения фигур с номерами i₁, ..., i_k, a S – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; M_k – сумма всех чисел S_i1...ik. Докажите, что:
  а)  S = M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{n + 1}M_n;
  б)  S ≥ M₁ - M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m   при m чётном и
       S ≤ M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m   при m нечётном.

Решение 1

  а) Обозначим через W_m площадь части плоскости, покрытой ровно m фигурами. Эта часть состоит из кусков, каждый из которых покрыт какими-то определенными m фигурами. Площадь каждого такого куска при вычислении M_k учитывается    раз. Поэтому

Следовательно,

так как     (см. задачу 60412).
  Остается заметить, что   S = W₁ + ... + W_n.

  б) Согласно а)

(считается, что если  k > i,  то  C_i^k = 0).  Поэтому достаточно проверить, что   C_i^m+1 – C_i^m+2 + C_i^m+3 – ... – (–1)^m+nC_iⁿ ≥ 0   при  i ≤ n.

Воспользуемся известным тождеством  

Остается заметить, что    при  i ≤ n.

Решение 2

   а) Индукция по n. База  (n = 1)  очевидна.
   Шаг индукции. Пусть для n фигур формула доказана. Рассмотрим фигуры  A₁, ..., A_n, A_n+1  и обозначим   A = A₁ ∪ ... ∪ A_n,   B_i = A_i ∩ A_n+1,
S = S(A)  – площадь фигуры A,   S′ = S(A ∪ A_n+1).   Ясно, что   S′ = S + S(A_n+1) – S(A ∩ A_n+1).
  По предположению индукции
     S = M₁ – M₂ + M₃ – ... – (–1)ⁿM_n ;
     S(A ∩ A_n+1) = S(B₁ ∪ ... ∪ B_n) = N₁ – N₂ + N₃ – ... – (–1)ⁿN_n ,
где N_n – сумма площадей всех фигур вида  B_i1 ∩ ... ∩ B_ik = A_i1 ∩ ... ∩ A_ik ∩ A_n+1 .  Поэтому
      ,
где    – сумма площадей всевозможных пересечений k из наших  n + 1  фигур.

  б) Индукция проводится аналогично а). Пусть, например, m четно. Тогда (в тех же обозначениях)
      S ≥ M₁ – M₂ + M₃ – ... – M_m ,
     S(A ∩ A_n+1) ≤ N₁ – N₂ + N₃ – ... + N_m–1 .
Поэтому
     

Замечания

Доказываемая в а) формула – полный аналог формулы включения-исключения (задача 60435). Ее доказательство получается из доказательства формулы включения-исключения заменой слова "множество" на слово "фигура" и выражения "количество элементов" – на "площадь".

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	3
Название	Площадь
Тема	Принцип Дирихле (площадь и объем)
задача
Номер	21.027