Задача 58134

Темы:    [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Площадь многоугольника ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.

Решение

Проведём через каждую вершину многоугольника M прямую, перпендикулярную прямой l. Эти прямые разрезают многоугольник на трапеции (некоторые из трапеций могут вырождаться в треугольники). При симметризации по Штейнеру каждая такая трапеция заменяется на равнобочную трапецию с теми же основаниями и той же высотой. Ясно, что при такой замене площадь трапеции не изменяется. Остаётся проверить, что периметр не увеличивается. При этом достаточно рассмотреть случай, когда трапеция вырождается в треугольник. Действительно, если ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, где ABCD, то от неё можно отрезать параллелограмм ABCD'.
Итак, пусть ABC — треугольник, у которого сторона AB фиксирована, а вершина C движется по прямой m, параллельной AB. Пусть точка B' симметрична точке B относительно прямой m. Тогда AC + CB = AC + CB'AB'. Равенство достигается тогда и только тогда, когда AC = CB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	3
Название	Симметризация по Штейнеру
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)
задача
Номер	22.012B1