Условие
Докажите, что сумма внешних углов любого
многоугольника, прилегающих к меньшим
180
o внутренним
углам, не меньше
360
o.
Решение
Так как у выпуклого
n-угольника все внутренние углы
меньше
180
o и их сумма равна
(
n - 2)
. 180
o,
то сумма внешних углов равна
360
o, т. е. в случае выпуклого
многоугольника достигается равенство.
Пусть теперь
M — выпуклая оболочка многоугольника
N. Каждый
угол
M содержит меньший
180
o угол
N, причем угол
M
может быть только больше угла
N, т. е. внешний угол
N не меньше
внешнего угла
M (рис.). Поэтому, даже ограничившись только
углами
N, примыкающими к углам
M, мы уже получим не меньше
360
o.
Источники и прецеденты использования
