Задача 58183

Тема:    [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.

Решение

Разрежем плоскость на одинаковые квадраты со стороной 2R и раскрасим их в шахматном порядке. Впишем в каждый из них окружность. Тогда детали полотна можно считать расположенными на этих окружностях, причем движение поезда, идущего из начала в конец, происходит в белых клетках по часовой стрелке, а в черных — против (или наоборот; см. рис.). Поэтому тупик образоваться не может, так как по обоим звеньям тупика движение происходит в одну сторону.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные раскраски в шахматном порядке
Тема	Шахматная раскраска
задача
Номер	23.023