Задача 58213

Тема:    [ Целочисленные решетки (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Условие

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

Решение

Докажем сначала, что на окружности с центром A = (, 1/3) не может лежать более одной целочисленной точки. Если m и n — целые числа, то (m - )² + (n - (1/3))² = q - 2m, где q — рациональное число. Поэтому из равенства

(m₁ - )² + (n₁ - 1/3)² = (m₂ - )² + (n₂ - (1/3))²

следует, что m₁ = m₂. По теореме Виета сумма корней уравнения (n - (1/3))² = d равна 2/3, поэтому лишь один корень может быть целочисленным.
Расположим теперь радиусы окружностей с центром A, проходящих через целочисленные точки, в порядке возрастания: R₁ < R₂ < R₃ <.... Если R_n < R < R_{n + 1}, то внутри окружности радиуса R с центром A лежит ровно n целочисленных точек.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	3
Название	Разные задачи
Тема	Целочисленные решетки (прочее)
задача
Номер	24.011