Задача 58235

Тема:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

а) В выпуклом n-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на несколько многоугольников. Докажите, что у каждого из них не более n сторон.
б) Докажите, что если n чётно, то у каждого из полученных многоугольников не более n - 1 сторон.

Решение

а) Прямая, на которой лежит сторона многоугольника разбиения, проходит через две вершины исходного многоугольника, а через каждую вершину исходного многоугольника может проходить не более двух таких прямых. Поэтому число сторон многоугольника разбиения не больше числа вершин исходного многоугольника.
б) Те же самые рассуждения, что и при решении задачи а), показывают, что полученный многоугольник имеет не более n сторон, причём если число его сторон равно n, то из каждой вершины исходного многоугольника выходят ровно две диагонали, ограничивающих полученный многоугольник. Пусть из вершины A₁ выходят две диагонали A₁A_p и A₁A_q, ограничивающие полученный многоугольник. Тогда A_p и A_q — соседние вершины, поскольку иначе внутри угла A_pA₁A_q была бы диагональ, разрезающая полученный многоугольник. Действительно, вершину, лежащую между A_p и A_q, нужно было бы соединить с вершиной, лежащей между A₁ и A_p или между A₁ и A_q. Изменив при необходимости направление нумерации вершин, можно считать, что q = p + 1 и pn/2. Если исключить диагональ A₁A_{p + 1}, то любая другая диагональ, ограничивающая полученный многоугольник, соединяет одну из вершин с номером от 2 до p с некоторой вершиной. Поэтому всего у полученного многоугольника может быть не более 1 + - 1 ^. 2 = n - 1 сторон. Чтобы получить пример n-угольника, при разрезании которого получается (n - 1)-угольник, можно взять правильный (n - 1)-угольник и отрезать от него маленький треугольник, т.е. вместо вершины A₁ взять две вершины A₁' и A_n, расположенные на сторонах A₁A₂ и A₁A_{n - 1} вблизи вершины A₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	3
Название	Свойства частей, полученных при разрезаниях
Тема	Свойства частей, полученных при разрезаниях
задача
Номер	25.016