Задача 58245

Тема:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.

Решение

Индукцией по m легко доказать, что m прямых разбивают плоскость на 1 + m + x частей, где x — количество точек пересечения этих прямых с учётом их кратностей (это означает, что точка пересечения k прямых считается за k - 1 точек пересечения).
Используя эту формулу и индукцию по m, можно доказать, что если среди данных m прямых есть три прямые, пересекающиеся в трёх различных точках, то эти m прямых разбивают плоскость по крайней мере на 2m + 1 частей. База индукции: m = 3; далее мы пользуемся тем, что проведение каждой новой прямой добавляет по крайней мере две новые части.
Обращаясь к условию задачи, мы видим, что нас интересуют только конфигурации прямых, среди которых нет троек прямых, пересекающихся в трёх разных точках. Таким образом, либо все 99 прямых параллельны, либо все 99 прямых пересекаются в одной точке, либо 98 прямых параллельны и одна прямая их пересекает. Первая конфигурация разбивает плоскость на 100 частей, а обе остальные — на 198 частей.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	5
Название	Плоскость, разрезанная прямыми
Тема	Плоскость, разрезанная прямыми
задача
Номер	25.026B-