Задача 58247

Тема:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

а) Найдите число всех полученных фигур.
б) Найдите число ограниченных фигур, т. е. многоугольников.

Решение

а) Пусть n прямых разбивают плоскость на a_n частей. Проведем еще одну прямую. При этом число частей увеличится на n + 1, так как новая прямая имеет n точек пересечения с уже проведенными прямыми. Поэтому a_{n + 1} = a_n + n + 1. Так как a₁ = 2, то a_n = 2 + 2 + 3 +...+ n = (n² + n + 2)/2.
б) Заключив все точки пересечения данных прямых в окружность, легко проверить, что количество неограниченных фигур равно 2n. Поэтому количество ограниченных фигур равно (n² + n + 2)/2 - 2n = (n² - 3n + 2)/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	5
Название	Плоскость, разрезанная прямыми
Тема	Плоскость, разрезанная прямыми
задача
Номер	25.006.1