Задача 58267

Тема:    [ Покрытия ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.

Решение

Выберем среди всех отрезков, покрывающих левый конец исходного отрезка, тот, у которого правый конец самый правый, и обозначим этот отрезок I₁. После того как выбран отрезок I_k, выбираем среди всех отрезков, покрывающих его правый конец, тот, у которого правый конец самый правый. Таким образом выберем несколько отрезков, полностью покрывающих исходный отрезок. Остается доказать, что сумма их длин не превосходит 2. Отрезок I_{k + 2} не имеет общих точек с I_k, так как иначе вместо I_{k + 1} мы должны были бы выбрать I_{k + 2}. Поэтому каждая точка исходного отрезка длиной 1 покрыта не более чем двумя отрезками I_k, т. е. сумма длин этих отрезков не превосходит 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	8
Название	Покрытия
Тема	Покрытия
задача
Номер	25.045