Задача 58281

Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

а) Можно ли квадрат 6×6 замостить костями домино 1×2 так, чтобы не было к швак, т. е. прямой, не разрезающей костей?
б) Докажите, что любой прямоугольник m×n, где m и n больше 6 и mn четно, можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.
в) Докажите, что прямоугольник 6×8 можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.

Решение

а) Нельзя. Предположим, что квадрат 6×6 замощен костями домино 1×2 так, что нет к швак. Рассмотрим 10 отрезков, которые делят квадрат на 36 клеток (стороны самого квадрата мы не рассматриваем). Каждый из этих отрезков разрезает не менее двух костей. В самом деле, если бы такой отрезок разрезал одну кость, то по обе стороны от него лежало бы целое число костей и еще половина кости, т. е. нечетное число клеток. Этого не может быть, так как площадь каждой из частей, на которые отрезок разрезает квадрат, четна. Ясно также, что одну кость не могут разрезать разные отрезки. Поэтому должно быть по крайней мере 20 костей, а их всего 18.
б) На рис. показано, как замостить прямоугольники 5×6 и 8×8 (при замощении прямоугольника 8×8 использовано замощение прямоугольника 5×6).

Теперь достаточно доказать, что если можно замостить прямоугольник m×n, то можно замостить и прямоугольник m×(n + 2). Для этого нужно разрезать замощенный прямоугольник m×n на две части, не разрезая костей. Затем нужно правую часть сдвинуть вправо на расстояние 2 и промежуток заполнить горизонтальными костями (рис.).

в) Требуемое замощение изображено на рис.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	9
Название	Замощения костями домино и плитками
Тема	Замощения костями домино и плитками
задача
Номер	25.059