Задача 58356

Темы:    [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ] [ Касающиеся окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 7+ Классы: 9,10,11

Условие

Окружности S₁, S₂,..., S_n касаются двух окружностей R₁ и R₂ и, кроме того, S₁ касается S₂ в точке A₁, S₂ касается S₃ в точке A₂..., S_{n - 1} касается S_n в точке A_{n - 1}. Докажите, что точки A₁, A₂,..., A_{n - 1} лежат на одной окружности.

Решение

Если окружности R₁ и R₂ пересекаются или касаются, то инверсия с центром в их точке пересечения переведет окружности  S₁, S₂,..., S_n в окружности, касающиеся пары прямых и друг друга в точках A₁^*, A₂^*,..., A_{n - 1}^*, лежащих на биссектрисе угла, образованного прямыми R₁^* и R₂^*, если R₁^* и R₂^* пересекаются, и на прямой, параллельной R₁^* и R₂^*, если эти прямые не пересекаются. Применив инверсию еще раз, получим, что точки A₁^*, A₂^*,..., A_{n - 1}^* лежат на одной окружности.
Если же окружности R₁ и R₂ не пересекаются, то согласно задаче 28.6 найдется инверсия, переводящая их в пару концентрических окружностей. В этом случае точки A₁^*, A₂^*,..., A_{n - 1}^* лежат на окружности, концентрической с R₁^* и R₂^*, а значит, точки A₁, A₂,..., A_{n - 1} лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	6
Название	Цепочки окружностей
Тема	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха
задача
Номер	28.037