Задача 58357

Темы:    [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ] [ Касающиеся окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 7+ Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что если существует цепочка окружностей S₁, S₂,..., S_n, каждая из которых касается двух соседних (S_n касается S_{n - 1} и S₁) и двух данных непересекающихся окружностей R₁ и R₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T₁, касающейся R₁ и R₂ (одинаковым образом, если R₁ и R₂ не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T₁, T₂,..., T_n (поризм Штейнера).

Решение

Сделаем инверсию, переводящую R₁ и R₂ в пару концентрических окружностей. Тогда окружности S₁^*, S₂^*,..., S_n^* и T₁^* равны между собой (рис.). Повернув цепочку S₁^*,..., S_n^* вокруг центра окружности R₁^* так, чтобы S₁^* перешла в T₁^*, и сделав инверсию еще раз, получим нужную цепочку T₁, T₂,..., T_n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	6
Название	Цепочки окружностей
Тема	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха
задача
Номер	28.038