Задача 58358

Темы:    [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ] [ Касающиеся окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Концентрические окружности ]

Сложность: 7+ Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей R₁ и R₂ цепочка из n касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями T₁ и T₂, касающимися R₁ и R₂ в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла 360^o/n (рис.).

Решение

Центр инверсии, переводящей окружности R₁ и R₂ в концентрические, лежит (см. решение задачи 28.6) на линии их центров. Поэтому, сделав эту инверсию и учтя, что угол между окружностями и касание при этом сохраняется, мы сведем доказательство к случаю концентрических окружностей R₁ и R₂ с центром O и радиусами r₁ и r₂.
Проведем окружность S с центром P радиуса (r₁ - r₂)/2, касающуюся R₁ изнутри и R₂ внешне, и две окружности S' и S'' радиуса (r₁ + r₂)/2 с центрами A и B, касающиеся R₁ и R₂ в их точках пересечения с прямой OP (рис.). Пусть OM и ON — касательные к S, проведенные из O. Очевидно, что цепочка из n окружностей, касающихся R₁ и R₂, существует тогда и только тогда, когда угол MON равен m360^o/n (в этом случае окружности цепочки m раз обегают окружность R₂). Поэтому осталось доказать, что угол между окружностями S' и S'' равен MON. Но угол между S' и S'' равен углу между их радиусами, проведенными в точку пересечения C. Кроме того, ACO = PON (так как OP = r₁ - (r₁ - r₂)/2 = (r₁ + r₂)/2 = AC, PN = (r₁ - r₂)/2 = r₁ - ((r₁ + r₂)/2) = OA, PNO = AOC = 90^o). Поэтому ACB = 2ACO = 2PON = NOM.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	6
Название	Цепочки окружностей
Тема	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха
задача
Номер	28.039