Задача 58381

Тема:    [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Дан треугольник ABC. Пусть O — точка пересечения его медиан, а M, N и P — точки сторон AB, BC и CA, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е. AM : MB = BN : NC = CP : PA = p : q). Докажите, что:
а) O — точка пересечения медиан треугольника MNP;
б) O — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми AN, BP и CM.

Решение

а) Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее треугольник ABC в правильный треугольник A'B'C'. Пусть O', M', N', P' — образы точек O, M, N, P. При повороте на 120^o вокруг точки O' треугольник M'N'P' переходит в себя, поэтому этот треугольник правильный и O' — точка пересечения его медиан. Поскольку при аффинном преобразовании медиана переходит в медиану, O — точка пересечения медиан треугольника MNP.
б) Решение аналогично решению предыдущей задачи.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Решение задач при помощи аффинных преобразований
Тема	Решение задач при помощи аффинных преобразований
задача
Номер	29.014