Условие
В трапеции
ABCD с основаниями
AD и
BC через
точку
B проведена прямая, параллельная стороне
CD и пересекающая диагональ
AC в точке
P, а через точку
C —
прямая, параллельная стороне
AB и пересекающая диагональ
BD в точке
Q. Докажите, что прямая
PQ параллельна
основаниям трапеции.
Решение
Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее
ABCD
в равнобедренную трапецию
A'B'C'D'. В качестве такого преобразования
можно взять аффинное преобразование, переводящее
треугольник
ADE в равнобедренный треугольник (
E — точка
пересечения прямых
AB и
CD). Тогда при симметрии относительно
серединного перпендикуляра к
A'D' точка
P' переходит в точку
Q',
т. е. прямые
P'Q' и
A'D' параллельны.
Источники и прецеденты использования
