Информация о задаче

Задача 58394

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) ${\frac{AC}{AD}}$ : ${\frac{BC}{BD}}$ = ${\frac{A^*C^*}{A^*D^*}}$ : ${\frac{B^*C^*}{B^*D^*}}$ ;
б) $\angle$ (DA, AC) - $\angle$ (DB, BC) = $\angle$ (D^*B^*, B^*C^*) - $\angle$ (D^*A^*, A^*C^*).

Решение

Установим соответствие между точками плоскости и комплексными числами так, чтобы центр инверсии находился в нуле. Тогда образом числа z при инверсии со степенью R является число R/ $\bar{z}$ . Двойным отношением комплексных чисел a, b, c, d называют комплексное число

(abcd )= $\displaystyle {\frac{a-c}{a-d}}$ : $\displaystyle {\frac{b-c}{b-d}}$ .

Если a^*, b^*, c^*, d^* — образы чисел a, b, c, d при инверсии, то

$\begin{multline*} \overline{(a^*b^*c^*d^*)}= \frac{R/a-R/c}{R/a-R/d}:\frac{R/b... ...R(c-b)/bc}{R(d-b)/bd}= \frac{a-c}{a-d}:\frac{b-c}{b-d}=(abcd). \end{multline*}$

Задача а) следует из равенства модулей этих чисел, а задача б) — из равенства их аргументов.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.026