Информация о задаче

Задача 58397

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то m²n² = a²c² + b²d² - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).

Решение

Докажем сначала, что если u, v, w, z — комплексные числа, причем u + v + w + z = 0, то

| uw - vz|² = | u + v|²| v + w|².

В самом деле,

| uw - vz| = | uw + v(u + v + w)| = | u + v|^.| v + w|.

Пусть комплексные числа u, v, w, z соответствуют векторам $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{DA}$ . Тогда | u + v|²| v + w|² = m²n² и

| uw - vz|² = (uw - vz)( $\displaystyle \bar{u}$ $\displaystyle \bar{w}$ - $\displaystyle \bar{v}$ $\displaystyle \bar{z}$ ) = | uw|² + | vz|² - (uw $\displaystyle \bar{v}$ $\displaystyle \bar{z}$ - $\displaystyle \bar{u}$ $\displaystyle \bar{w}$ vz).

Так как | uw|² = a²c² и | vz|² = b²d², то остается доказать, что

uw $\displaystyle \bar{v}$ $\displaystyle \bar{z}$ - $\displaystyle \bar{u}$ $\displaystyle \bar{w}$ vz = 2abcd cos(A + C).

Для этого достаточно проверить, что аргумент числа uw $\bar{v}$ $\bar{z}$ равен ±( $\angle$ A + $\angle$ C). Остается заметить, что аргумент числа u $\bar{v}$ (соответственно w $\bar{z}$ ) равен ± $\varphi$ , где $\varphi$ — угол между векторами u и v (соответственно w и z).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.029