Информация о задаче

Задача 58424

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности, переводит в центр образа.
б) Докажите, что если проективное преобразование переводит данную окружность в окружность, а точку M — в ее центр, то исключительная прямая перпендикулярна диаметру, проходящему через M.

Решение

а) Рассмотрим на координатной плоскости Oxz точки O(0, 0), N(0, 1), E(1, 0). Для произвольной точки M, лежащей на дуге NE единичной окружности (см. рис.), обозначим через P середину отрезка EM, а через M^* и P^* — точки пересечения прямых NM и NP соответственно с прямой OE.
Докажем, что для любого числа k > 2 можно выбрать точку M таким образом, что M^*E : P^*E = k. Пусть A(a, b) — произвольная точка плоскости, A^*(t, 0) — точка пересечения прямых NA и OE, B(0, b) — проекция точки A на прямую ON. Тогда

t = $\displaystyle {\frac{A^*O}{ON}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{BN}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{1-b}}$ .

Поэтому, если (x, z) — координаты точки M, то точки P, M^*, P^* имеют соответственно координаты

P $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x+1}{2},\frac{z}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{x+1}{2}}$ , $\displaystyle {\frac{z}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x+1}{2},\frac{z}{2}}\right)$ , M^* $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x}{1-z},0 }\right.$ $\displaystyle {\frac{x}{1-z}}$ , 0 $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x}{1-z},0 }\right)$ , P^* $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{(x+1)/2}{1-(z/2)},0}\right.$ $\displaystyle {\frac{(x+1)/2}{1-(z/2)}}$ , 0 $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{(x+1)/2}{1-(z/2)},0}\right)$ ,

значит,

M^*E : P^*E = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x}{1-z}-1}\right.$ $\displaystyle {\frac{x}{1-z}}$ - 1 $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x}{1-z}-1}\right)$ : $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{x+1}{2-z}-1}\right.$ $\displaystyle {\frac{x+1}{2-z}}$ - 1 $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x+1}{2-z}-1}\right)$ = $\displaystyle {\frac{x+z-1}{1-z}}$ : $\displaystyle {\frac{x+z-1}{2-z}}$ = $\displaystyle {\frac{2-z}{1-z}}$ .

Ясно, что уравнение (2 - z)/(1 - z) = k имеет решение z = (k - 2)/(k - 1), причем если k > 2, то 0 < z < 1, и, следовательно, точка M( $\sqrt{1-z^2}$ , z) требуемая.
Докажем теперь основное утверждение задачи. Обозначим данные окружность и точку внутри ее соответственно через S и C. Если точка C является центром окружности S, то требуемым проективным преобразованием является тождественное преобразование. Поэтому будем считать, что C не центр. Обозначим через AB диаметр, содержащий точку C. Пусть для определенности BC > CA. Положим k = BA : AC. Тогда k > 2, и, следовательно, как было доказано, на единичной окружности в плоскости Oxz можно расположить точку M так, что M^*E : P^*E = k = BA : CA. Поэтому преобразованием подобия окружность S можно перевести в окружность S₁, построенную в плоскости Oxy на отрезке EM^* как на диаметре, так, чтобы точки A, B, C перешли соответственно в точки E, M^*, P^*. При стереографической проекции окружность S₁ проецируется в окружность S₂ на единичной сфере, которая симметрична относительно плоскости Oxz, а значит, и относительно прямой EM. Поэтому EM — диаметр окружности S₂, а его середина — точка P — ее центр. Пусть $\alpha$ — плоскость, содержащая окружность S₂. Ясно, что при центральном проектировании плоскости Oxy на плоскость $\alpha$ из северного полюса единичной сферы окружность S₁ перейдет в S₂, а точка P^* — в ее центр P.
б) Диаметр AB, проходящий через M, переходит в диаметр. Поэтому касательные в точках A и B переходят в касательные. Но если параллельные прямые переходят в параллельные, то исключительная прямая им параллельна (см. задачу 30.14, в)).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Проективные преобразования плоскости
Тема	Проективные преобразования плоскости
задача
Номер	30.016