Задача 58425

Тема:    [ Проективные преобразования плоскости ]

Сложность: 7 Классы: 10,11

Условие

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

Решение

Рассмотрим на координатной плоскости Oxz точки O(0, 0), N(0, 1), E(1, 0). Для произвольной точки M, лежащей на дуге NE единичной окружности, обозначим через P пересечение отрезка EM с прямой z = 1. Ясно, что двигая точку M по дуге NE, мы можем сделать отношение EM : MP равным произвольному числу. Поэтому преобразованием подобия данную окружность S можно перевести в окружность S₁, построенную на отрезке EM как на диаметре в плоскости , перпендикулярной Oxz, так, чтобы данная прямая l перешла в прямую, проходящую через P перпендикулярно Oxz. Окружность S₁ лежит на единичной сфере с центром в начале координат, следовательно, при стереографической проекции она проецируется в окружность S₂ на плоскости Oxy. Таким образом, при центральном проектировании плоскости  на плоскость Oxy из N окружность S₁ перейдет в S₂, а прямая l — в бесконечно удаленную.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Проективные преобразования плоскости
Тема	Проективные преобразования плоскости
задача
Номер	30.017