Условие
Дана окружность
S и точка
O внутри ее. Рассмотрим все проективные
преобразования, которые
S отображают в окружность, а
O — в ее
центр. Докажите, что все такие преобразования отображают на
бесконечность одну и ту же прямую.
Решение
Проведем через
O две произвольные хорды
AC и
BD.
Пусть
P и
Q — точки пересечения продолжений противоположных
сторон четырехугольника
ABCD. Рассмотрим произвольное проективное
преобразование, которое
S отображает в окружность, а
O — в
ее центр. Ясно, что четырехугольник
ABCD при этом преобразовании
переходит в прямоугольник, а следовательно, прямая
PQ — в бесконечно удаленную.
Источники и прецеденты использования
