Информация о задаче

Задача 58429

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны две параллельные прямые a, b и точка O. Тогда для каждой точки M можно выполнить следующее построение. Проведем через M произвольную прямую l, не проходящую через O и пересекающую прямые a и b. Точки пересечения обозначим соответственно через A и B, и пусть M' — точка пересечения прямой OM с прямой, параллельной OB и проходящей через A.
а) Докажите, что точка M' не зависит от выбора прямой l.
б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку M в точку M', является проективным.

Решение

а) Точка M' лежит на прямой OM, поэтому ее положение однозначно определяется отношением MO : OM'. Но в силу того, что треугольники MBO и MAM' подобны, MO : OM' = MB : BA, а последнее отношение не зависит от выбора прямой l по теореме Фалеса.
б)
Первое решение. Если данное преобразование (обозначим его P) доопределить в точке O, положив P(O) = O, то, как легко проверить, P задает взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости (чтобы по точке M' построить точку M, надо взять на a произвольную точку A, провести прямые AM', OB| AM' и AB). Ясно, что каждая прямая, проходящая через O, переходит в себя. Каждая прямая l, не проходящая через O, переходит в прямую, параллельную OB и проходящую через M. Остается воспользоваться задачей 30.14, г).

Второе решение (набросок). Обозначим данную плоскость через $\pi$ , и пусть $\pi{^\prime}$ = R( $\pi$ ), где R — некоторый поворот пространства вокруг оси a. Обозначим R(O) через O', и пусть P — проектирование плоскости $\pi$ на плоскость $\pi{^\prime}$ из точки пересечения прямой OO' с плоскостью, проходящей через b параллельно $\pi{^\prime}$ . Тогда преобразование R^-1oP совпадает (докажите самостоятельно) с преобразованием, о котором идет речь в формулировке задачи.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Проективные преобразования плоскости
Тема	Проективные преобразования плоскости
задача
Номер	30.021