Условие
Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую
точку с координатами (
x,
y) отображает в точку с координатами
,
, является проективным.
Решение
Первое решение.
Обозначим данное преобразование через
P. Доопределим его в точках
прямой
x = 0 и в бесконечно удаленных точках, положив
P(0,
k) =
Mk,
P(
Mk) = (0,
k), где
Mk — бесконечно удаленная точка на
прямой
y =
kx. Легко видеть, что доопределенное таким образом
отображение
P взаимно однозначно. Докажем, что каждая прямая
переходит в прямую. Действительно, прямая
x = 0 и бесконечно
удаленная прямая переходят одна в другую. Пусть
ax +
by +
c = 0 —
произвольная другая прямая (т. е.
b или
c не равно нулю).
Поскольку
PoP =
E, образ любой прямой совпадает
с ее прообразом. Ясно, что точка
P(
x,
y) лежит на рассматриваемой
прямой тогда и только тогда, когда
+
+
c = 0,
т. е.
cx +
by +
a = 0. Остается воспользоваться задачей
30.14, г).
Второе решение (набросок). Если прямые
x = 1 и
x = 0
обозначить соответственно через
a и
b, а точку (- 1, 0) — через
O, то данное преобразование совпадает с преобразованием
из предыдущей задачи.
Источники и прецеденты использования
