Условие
Пусть
O — точка пересечения диагоналей четырехугольника
ABCD,
а
E,
F — точки пересечения продолжений сторон
AB и
CD,
BC и
AD соответственно. Прямая
EO пересекает стороны
AD и
BC
в точках
K и
L, а прямая
FO пересекает стороны
AB и
CD
в точках
M и
N. Докажите, что точка
X пересечения прямых
KN
и
LM лежит на прямой
EF.
Решение
Сделаем проективное преобразование с исключительной
прямой
EF. Тогда четырехугольник
ABCD перейдет в параллелограмм,
а прямые
KL и
MN — в прямые, параллельные его сторонам
и проходящие через точку пересечения диагоналей, т. е. в средние
линии. Поэтому образы точек
K,
L,
M,
N являются серединами
сторон параллелограмма и, следовательно, образы прямых
KN и
LM
параллельны, т. е. точка
X переходит в бесконечно удаленную точку,
а значит,
X лежит на исключительной прямой
EF.
Источники и прецеденты использования
