Условие
Даны два треугольника
ABC и
A1B1C1. Известно, что
прямые
AA1,
BB1 и
CC1 пересекаются в одной точке
O,
прямые
AA1,
BC1 и
CB1 пересекаются в одной точке
O1
и прямые
AC1,
BB1 и
CA1 пересекаются в одной точке
O2.
Докажите, что прямые
AB1,
BA1 и
CC1 тоже пересекаются
в одной точке
O3 (
теорема о трижды перспективных треугольниках).
Решение
Рассмотрим проективное преобразование с исключительной
прямой
O1O2 и обозначим через
A',
B',... образы
точек
A,
B,... Тогда
A'C1'|
C'A1'|
B'B1',
B'C1'|
C'B1'|
A'A1'. Будем для определенности считать,
что точка
C лежит внутри угла
A'O'B' (остальные случаи
переобозначением сводятся к этому). Сделав еще, если
необходимо, аффинное преобразование, мы можем считать, что
параллелограмм
O'A'C1'
B' является квадратом, а значит,
O'A1'
C'B1' — тоже квадрат, причем диагонали
O'C1' и
O'C' этих квадратов лежат на одной прямой. Остается воспользоваться
симметрией относительно этой прямой.
Источники и прецеденты использования
