Условие
Даны четыре точки
A,
B,
C,
D. Пусть
P,
Q,
R — точки пересечения
прямых
AB и
CD,
AD и
BC,
AC и
BD соответственно;
K и
L — точки пересечения прямой
QR с прямыми
AB и
CD
соответственно. Докажите, что (
QRKL) = - 1
(
теорема о полном четырехстороннике).
Решение
Сделаем проективное преобразование, исключительной
прямой которого является прямая
PQ. Через
A',
B',... обозначим
образы точек
A,
B,... Тогда
A'B'C'D' — параллелограмм,
R' — точка пересечения его диагоналей,
Q' — бесконечно
удаленная точка прямой
Q'R',
K' и
L' — точки, высекаемые
сторонами параллелограмма на прямой
Q'R'. Ясно, что точки
K' и
L'
симметричны относительно точки
R'. Следовательно,
(
Q'R'K'L') =
:
= 1 :
= - 1.
Остается заметить, что согласно задаче
30.2, б)
(
QRKL) = (
Q'R'K'L').
Источники и прецеденты использования
