Условие
Точки
A,
B,
C,
D,
E,
F лежат на одной окружности.
Докажите, что точки пересечения прямых
AB и
DE,
BC
и
EF,
CD и
FA лежат на одной прямой (Паскаль).
Решение
Обозначим точки пересечения прямых
AB и
DE,
BC и
EF,
CD и
FA через
P,
Q,
R соответственно, а точку пересечения
прямых
PQ и
CD — через
R'. Нам надо доказать, что точки
R
и
R' совпадают. Пусть
G — точка пересечения
AB и
CD.
Рассмотрим композицию проецирований прямой
CD на данную окружность из
точки
A, а затем — окружности на прямую
BC из точки
E. Согласно
задаче
30.9 это отображение проективно. Легко видеть, что его
композиция с проецированием
BC на
CD из точки
P оставляет на
месте точки
C,
D и
G, а точку
R переводит в
R'. Но согласно
задаче
30.5 проективное преобразование с тремя неподвижными
точками тождественно. Следовательно,
R' =
R.
Источники и прецеденты использования
