Задача 58461
|
|
 |
Условие
Точки A и B лежат на прямых a и b соответственно, а точка P не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через P прямую, пересекающую прямые a и b в точках X и Y соответственно таких, что длины отрезков AX и BY имеют а) данное отношение; б) данное произведение.Решение
а) Обозначим через k число, которому должно равняться отношение AX/BY. Рассмотрим проективное преобразование прямой a, являющееся композицией проецирования прямой a на прямую b из точки P, движения плоскости, переводящего b в a и B в A, и, наконец, гомотетии с центром A и коэффициентом k. Искомая точка X является неподвижной точкой этого преобразования. Построение точки Y очевидно.б) Обозначим через k число, которому должно равняться произведение AX . BY, через Q — точку пересечения прямых, проходящих через точки A и B параллельно прямым b и a соответственно, и пусть p = AQ . BQ. Рассмотрим проективное преобразование прямой a, являющееся композицией проецирования прямой a на прямую b из точки P, проецирования b на a из Q, и гомотетии с центром A и коэффициентом k/p. Пусть X — неподвижная точка этого преобразования, Y — ее образ при первом проецировании, а X1 — образ Y при втором проецировании. Докажем, что прямая XY искомая. Действительно, из подобия треугольников AQX1 и BYQ следует
AX1 . BY = AQ . BQ = p,
а значит,
AX . BY = (k/p)AX1 . BY = k.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 30 |
| Название | Проективные преобразования |
| Тема | Проективная геометрия |
| параграф | |
| Номер | 6 |
| Название | Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение |
| Тема | Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение |
| задача | |
| Номер | 30.054 |
