Задача 58465

Тема:    [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Условие

а) Дана некоторая окружность. При помощи одной линейки постройте n-угольник, стороны которого проходят через данные n точек, а вершины лежат на n данных прямых.
б) При помощи одной линейки впишите в данную окружность n-угольник, стороны которого проходят через данные n точек.
в) При помощи циркуля и линейки впишите в данную окружность многоугольник, у которого некоторые стороны проходят через данные точки, некоторые другие параллельны данным прямым, а остальные имеют данные длины (о каждой стороне имеется информация одного из трех перечисленных типов).

Решение

а) Обозначим данные точки M₁,..., M_n, а данные прямые — l₁,...l_n. Вершина искомого многоугольника есть неподвижная точка проективного преобразования прямой l₁, являющегося композицией проектирований l₁ на l₂ из M₁, l₂ на l₃ из  M₂,..., l_n на l₁ из M_n. Неподвижная точка проективного преобразования строилась в задаче 30.52.
б) Выберем произвольную точку на данной окружности и посредством проецирования из выбранной точки отождествим данную окружность с некоторой прямой l. Согласно задаче 30.39 центральное проектирование окружности на себя при данном отождествлении является проективным преобразованием прямой l. Ясно, что вершина искомого многоугольника есть неподвижная точка композиции последовательных проектирований данной окружности на себя из данных точек. Неподвижная точка проективного преобразования строилась в задаче 30.52.
в) В решении задачи б) надо некоторые центральные проектирования заменить либо на повороты вокруг центра окружности, если соответствующая сторона имеет данную длину, либо на симметрии, если соответствующая сторона имеет данное направление (ось симметрии — диаметр, перпендикулярный данному направлению).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	6
Название	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение
Тема	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение
задача
Номер	30.058