Условие
Докажите, что при помощи одной линейки нельзя
разделить данный отрезок пополам.
Решение
Предположим, что нам удалось найти требуемое построение, т. е.
написать некоторую инструкцию, в результате выполнения
которой всегда получается середина данного отрезка. Выполним это
построение и рассмотрим проективное преобразование, которое концы
данного отрезка оставляет неподвижными, а середину переводит
в другую точку. Это преобразование можно выбрать так, чтобы
исключительная прямая не проходила ни через одну из точек,
получающихся в результате промежуточных построений. Выполним
нашу якобы существующую инструкцию еще раз, но теперь всякий
раз, когда нам будут встречаться слова к возьмем произвольную
точку (соответственно прямую)к, будем брать образ той точки
(соответственно прямой), которую брали при первом выполнении
построения. Поскольку при проективном преобразовании прямая
переходит в прямую, а пересечение прямых — в пересечение их
образов, причем в силу выбора проективного преобразования это
пересечение всегда конечно, то на каждом шаге второго построения
будем получать образ результата первого построения, поэтому
в конце получим не середину отрезка, а ее образ. Приходим
к противоречию.
Замечание.
Фактически мы доказали следующее утверждение:
если существует проективное преобразование, которое каждый из
объектов
A1,...,
An переводит в себя, а объект
B в себя
не переводит, то, исходя из объектов
A1,...,
An, объект
B
невозможно построить с помощью одной линейки.
Источники и прецеденты использования
