Задача 58469

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Докажите, что с помощью поворота

x'' = x'cosφ + y'sinφ,    y'' = - x'sinφ + y'cosφ

в уравнении ax'² + 2bx'y' + cy'² = f' коэффициент при x'y' можно сделать равным нулю.

Решение

Ясно, что
Q(x', y') = Q(x''cosφ + y''sinφ, - x''sinφ + y''cosφ) =
= x''²(a cos²φ - 2b cosφsinφ + c sin²φ) +
+2x''y''(a sinφcosφ + b(cos²φ - sin²φ) - c cosφsinφ) +
+ y''²(a sin²φ + 2b sinφcosφ + c cos²φ).
Чтобы уничтожить коэффициент при x''y'', нужно решить уравнение = - ctg2φ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Классификация кривых второго порядка
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.002