Условие
Докажите, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.
Решение
Точки $(x', y')$ и $(x'', y'')$ пересечения эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ и прямой $y = p x + q$ найдем, решив квадратное уравнение
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(px+q)^2}{b^2}=1.$$
По теореме Виета $(x'+x'')/2=-a^2pq/(b^2+a^2p^2)$ и, значит,
$$\frac{y'+y''}2=p\frac{x'+x''}2+q=\frac{b^2q}{b^2+a^2p^2}.$$
Таким образом, середины хорд эллипса, параллельных прямой $y = px$, лежат на прямой $y=-\frac{b^2}{a^2 p} x$.
Источники и прецеденты использования
